多数決は破綻している その2
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参考文献
不可能性を回避する方法
前回述べたように、投票制度はコンドルセのパラドックスを回避しようとするとアローの不可能性定理に阻まれてしまいます。この状況を打破する方法はあるのでしょうか?
投票をゲームと考える
コンドルセのパラドックスにおける投票は、言うなれば「並び替え」です。
つまり、今まで「各人の順位をちょうどよく考慮して、全体の選考を決める」という操作の不可能性を議論していました。
ゲームの構造を変える
ここで、今まで議論していた「並べ替えゲーム」を違うゲームに置き換えます。
点数付けゲーム
ここでは、新たに「点数付けゲーム」を考えます。
ルールは簡単。選択肢に点数を割り振るだけです。
点数を付けさせて、集計すれば「堂々巡り」を回避できます。さらに、前の投票についての5つの条件も満たせそうです。
このような投票制度の例としては「ルイス・キャロルの投票制度」などがあります。
ギバード=サタースウェイトの不可能性定理
新たな問題
ここで「点数付けゲーム」の新たな問題が発生します。
それは「戦略的操作」です。
個人が投票をする利得とはなんでしょうか?
それは、自分の選考を反映させることです。
そして、自分の選考を反映させるために、選考とは違う点数をいれるケースが発生してしまいます。結果に繋がるのは選考ではなく点数だからです。
(例)
Aの選考:X→Y→Zであるのに対し、入れた点数は X>Z>Yだった。
結果Yが1番になることが阻止され、Xが1番になり当選した。
投票と戦略的操作に関しては、「ギバード=サタースウェイトの不可能性定理」が成り立ちます。
「戦略的操作をなくすことができるような投票制度は、独裁制しかない」
アローの不可能性定理のときと同様に、「フェアな投票を目指すと独裁制になる」という皮肉な結果が導かれます。
希望はないのか
ここまで不可能性に阻まれてしまうと、投票は無意味なのではないかと思ってしまいますが、希望はあります。
定理の仮定
以上の不可能性定理は本質的には
「個人の利得と皆の幸福の間には必ず不釣り合いが生じる」ということに等しいです。
(専門的には「ナッシュ均衡とパレート効率性の協調問題」と呼ばれます)
そしてここでの重要な仮定は
「個人は必ず自分の利得を最大化するように行動する」ということです。
この仮定がないとき、不可能性定理の壁にひびが入ります。
単峰的な選考
「単峰的な選考」とは、「一定以上の傾向がある選考」のことを指します。
コンドルセのパラドックスを回避できる程度のある傾向性があると、上手く不可能性を逃れることができます。
今までは投票される側は何もしないと仮定しましたが、実際には投票者に投票を促すことが普通です。この行動が単峰性を生みます。
したがって、選挙などは十分に不可能性を破っています。安心して選挙にいきましょう。
まとめ
今回は2回に分けて「多数決(投票)」について紹介しました。
理想的な状況では、多数決は破綻していることがわかりました。
ゲーム理論は、すでにゲームの枠を超えて様々な分野に適用されています。
特にゲームに量子の概念が取り入れられた「量子ゲーム」はとても興味深いです。
(勝ち続けられるギャンブルを考えたりすることができる)
ゲーム理論、勉強してみてはいかがでしょうか。
多数決は破綻している その1
こんにちは。今回はゲーム理論について。
ゲーム理論は、大数学者フォンノイマンによって、趣味のポーカーでブラフの合理性を示すために作られました。(実際にブラフは合理的な戦略です)
今回はゲーム理論の中の、多数決について紹介します。
*ここでは、多数決(投票)を広い意味で捉えて「それぞれの意見を一つにまとめる」ようなものとして考えます。
コンドルセのパラドックス
A,B,Cに以下のような好み(選考)があったとしましょう。
A:X→Y→Z
B:Y→Z→X
C:Z→X→Y
これら3人の選考から、3人全体の選考(社会的選考)を求めてみます。
・選択肢XとYに注目
3人のうち2人がXの方を優先しているので、全体としてX→Yとできます。
・選択肢YとZに注目
3人のうち2人がYの方を優先しているので、全体としてY→Zとできます。
・選択肢XとZに注目
3人のうち2人がZの方を優先しているので、全体としてZ→Xとできます。
以上より社会的選考として、X→Y, Y→Z, Y→Z が求められました。
しかし、これら3つの結果は「堂々巡り」を起こしていることがわかります。
したがってXYZの3つの順位を決定することは不可能です。
「問題設定が意図的だ」 と思うかもしれませんが、実はこの問題はとても重大な問題を抱えています。
*ここでの投票は、点数をつけて比べる形式のものではなく、順位を決める形式のものです。
アローの不可能性定理
投票が満たすべき最低条件
コンドルセのパラドックスを回避し、しっかり社会的選考を決められるような投票の条件を作ります。
1. 社会的選考の一貫性
「投票の結果、得られた社会的選考の順序は、どの選択肢も比較可能で推移的」
どの選択肢も比較可能なことを完備と言います。
推移的とは以下のようなことを指します。
選考が X→YでありY→Zでもあるときは X→Y→Z となる。
つまり3者の順序関係が繋がるということです。
2. 全員一致の原則
これは多数決として当たり前の原則です。
「全員がX→Yとした時は、社会的選考はX→Yとなる」
全員の選考が一致していたら、それは社会全体の選考と見なすというだけのことです。
3. 中立性
「選択肢の名前が変わっても、最終的な結果は変わらない」
これは以下のようなことを可能にします。
全員の選考がX→Yのとき、同時にZ→Wが成り立つならば
社会的選考は XとZ、YとW のようにグループ化して考えても良い。
4. 多様な選考
「投票者の選考には十分な多様性がある」
この条件は、コンドルセのパラドックスを防止します。投票者みんなが似たような選考を持ってしまうと、前に述べたような「堂々巡り」が発生してしまうからです。
5. 非独裁制
「独裁者が存在してはならない」
これは当たり前の仮定です。誰かの選考が、そのまま社会的選考になることはあってはなりません。
条件を満たす投票方式
以上5つが投票の最低条件です。これらの条件を満たす投票方式は存在するのでしょうか? 「アローの不可能性定理」は、この条件を満たす投票方式について次のように主張しています。
「如何なる投票方式も、条件1〜5を満たすことができない。なぜなら、条件1〜4を満たすように投票方式をデザインすると、独裁制になってしまうからである。」
具体例で考える
AとBは以下のような選考を持っているとします。
A:X→Y→Z→W
B:W→Y→Z→X
このもとで、条件に沿って社会的選考を決めます。
・選択肢XとYに注目
AとBで互いに異なる選考を持っています。ここではAの意見を採用し、X→Yとします。
・選択肢YとZに注目
AとBともにY→Zなので、条件2よりY→Zとします。
・選択肢ZとWに注目
AとBで互いに異なる選考を持っていて、決められないように見えます。しかし、XとY, ZとWのペアを見ると、お互いに対応していることがわかります。いま、X→Yという仮定をしたので、条件3よりZ→Wとなります。
・選択肢YとWに注目
上の結果から、Y→ZとZ→Wなので、条件1の推移性からY→Wとなります。
以上をまとめて、つなげるとX→Y→Z→Wとなりました。
これは、Aの選考と一致し、独裁制になってしまいます。
(最初にY→Xを仮定すると、Bが独裁者になります)
以上の議論はもっと一般的な場合でも成立します。
果たしてこの不可能性から逃れる方法はあるのか?
次回はその解決策と、それに付随して起こる新たな問題 について紹介します。
「マインドセット」を読んだ
こんにちは。
今回は、キャロル・S・ドゥエックの「マインドセット」を読んだので感想を綴っていきます。
私は「自己啓発」とか「心理学」などはあまり信じないタチなのですが、この手の本の中ではかなり名著だと聞いたので、読んでみました。
あらすじをざっと解説
マインドセットとは?
マインドセットとは「人の心の持ち方」を指します。
もう少し具体的にいうと「人間の考え方の土台」のようなものです。
この本では人間のマインドセットを2つに大別しています。
硬直マインドセット(fixed mindset)
硬直マインドセットの基本的な考え方は「才能は生まれ持ったもので変わらない」というものです。
この考え方がベースにあると
・他人からの批判が怖くなって、チャレンジを恐れる
・努力を怠る
大体このようなトラブルが起きます。
「もし誰かに負けてしまったら、自分はダメな奴だということが証明されてしまう(才能の差は変えられないのだから)」という帰結が導かれてしまうからです。
同時に 「自分が有能だと証明せねばならない」という理念で行動するようになります。
しなやかなマインドセット(growth mindset)
対して、しなやかなマインドセットでは「才能はいくらでも変えられる」と考えます。
この考え方があれば
・失敗を恐れない
・努力はが好きになる
このような良い影響が盛り沢山になります。
「才能なんていくらでも変えられるのだから、失敗したって構わない」と思うからです。同時に、「才能を伸ばすために努力したい」と考え行動します。
*分野によって、マインドセットがしなやかか、硬直しているかはそれぞれ
マインドセットが違うと...
この本では、2つのマインドセットで成果がどのように変わるかを述べています。
(スポーツ・勉強・ビジネス・人付き合い・教育 etc...)
実際に硬直マインドセットの経営者はどうなったのか、しなやかなマインドセットのスポーツ選手はどうなったのか、といった例が多々述べられています。
細かいことは実際に読んでみてください。
そして最後に
「しなやかなマインドセットにすることが、未来を切り開く鍵なのです」
という感じで締め括られています。(少し大雑把ですが)
感想・評価
良かった点
マインドセットが最適解?
「成功する奴としない奴の違いはなんだ?」 という問の答えの一つが見つかった感じ。
(成功にもいろいろあるけれど)
目指すべきゴールの一つが「しなやかなマインドセット」として定ったことが、この本を読んで一番ためになった点だと考えています。
自分のマインドセットは、明らかに硬直型だったのでしなやかにしたい。
悪かった点
内容の濃度がうすめ
この本は350ページほどでかなり分厚めなのですが、半分は昔の著名人の話で飽きる。
全体を通して主張は一貫されているから、実質150ページの内容を薄く広げている感じ。あともう少し科学的な何かが欲しかった。
マインドセットを変えるには?
一番残念だったのは、マインドセットは変えられると述べておいて、具体的にどう変えられるかがあまり明確ではなかった点です。(自分は硬直型だと知ることが、一番の方法なのかもしれませんが)
思ったこと
もっと早くにマインドセットを知っておきたかった
マインドセットは子供の時の体験で大体決まってしまいます。
だからもっと早くにマインドセットを知っておきたかった。
マインドセットの考え方は子供の教育にすごい効果ありそう。
アニメ・漫画とマインドセット
アニメや漫画の世界だと、俗に言う「圧倒的天才キャラ」みたいなのがいますよね。
小さい頃にアニメを見て、もしそんなキャラを好きになってしまったら、そこからマインドセットは硬直してしまうのではないか?
こういう点で見ると、小さい頃に見る創作物は後の人生にかなりの影響を与えるのではないかなと思いました。
まとめ
マインドセットという概念を知れたことが何よりもよかった。
が、読み物として見ると微妙なところです。
読み進んでいく楽しみがあまりなかったかなという感じ。
しかし、マインドセットについてもっと知りたいという人にはとてもオススメです。
皆さんも読んでみてはいかがでしょうか。では。
扇風機の羽根のホコリと流体力学
こんにちは。今回は扇風機について。
最近暑くなってきたので、一日中回しっぱなしなんてこともあるかと思います。
ここで一度扇風機を止めて羽根に注目。
ホコリがついていませんか? 多分ついてるはずです。
今回はこの現象と流体力学の関係を述べていきます。
よくよく考えてみると
ちょっと考えてみると、ホコリがついているのはおかしい。
なぜなら羽根の回転と風でホコリが飛んでいくと考えるのが普通だからです。
扇風機の風で紙さえ飛ぶのだから、ホコリがとんでもおかしくはない。
ではなぜ羽根にホコリが残っているのか?
粘性の証拠
ホコリが羽根に残るのは、空気の粘性の証拠であるといえます。
(正確には粘性流体の固体表面ー流体の境界条件)
粘性とは、流体の流れにくさを指します。
粘性が高いほど、流体はドロドロしています。(例:蜂蜜)
ある固体(=羽根)と粘性流体(=空気)の境目付近を想像してください。
固体が動くと、その表面周辺の粘性流体はドロドロしているので引きずられます。
よって、固体の速度=周辺の流体の速度になると予想できます。
(特殊な状況意外ではこの仮定は正しいと示されています)
したがって、羽根の表面近傍の流体は羽根に対して静止しています。(相対速度ゼロ)
空気も羽根と一緒に動くから、表面のホコリは流されることはないのです。
流体力学について
ここで少し流体力学について紹介します。
流体力学では文字通り流体について調べる学問ですが、複雑です。
粘性流体の基礎方程式「ナビエ・ストークス方程式」はミレニアム懸賞問題の一つに数えられています。そのくらい複雑で、厳密に解くのは不可能です。
1:密度の変化
2:粘性の効果(2種類)
3:圧力の変化
4:内部の力の変化(≒重力)
これら全ての効果を取り入れ、流体の各点について計算するのは無理に近いです。
乾いた水の物理
全ての要素を考慮して計算するのは不可能ですが、ある程度の近似ができます。
1:密度は流体のどこでも一定(非圧縮性流体)
2:粘性なし
ここまでくると、上手く計算できるようになります。
有名な「ベルヌーイの定理」が導かれます。
しかし粘性を無視すると、現実にあるはずの効果がなくなってしまうことが多いです。
(ダランベールの背理などなど)
扇風機のホコリも、粘性なしでは説明できません。
簡単にはなったけど、実際の流体とは程遠いことから、粘性なしの流体は「乾いた水」と皮肉られています。
今回は扇風機の羽根のホコリから、流体の粘性について紹介しました。
<詳細な流体力学の理論についてはこちら(自作)>
<参考文献>